Каждое регулярное локальное кольцо есть кольцо Коэна-Маколея.

Posted on 05/12/2022

аватар.png

Пусть всюду \(R\) — акоммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом \(\mathfrak{m}\) и полем вычетов \(k=R/\mathfrak{m}\).

Введение

Понятие кольца Коэна-Маколея является достаточно общим для множества примеров из алгебраической геометрии, теории инвариантности и комбинаторики, в то же время оно достаточно строгое, чтобы допустить богатую теорию. Понятие Коэна-Маколея — рабочая лошадка коммутативной алгебры. В этом посте мы открываем важный подкласс кольца Коэна-Маколея — регулярные локальные кольца (можно было бы подумать о \(k[[x_1,\dots,x_n]]\)). См. также «Почему кольца Коэна-Маколея стали важными в коммутативной алгебре?» на MathOverflow.

Рекомендуется ознакомиться с основными инструментами коммутативной алгебры, такими как лемма Накаямы и минимальные простые идеалы.

Контент можно в значительной степени обобщить на модули, но мы не делаем этого ради быстрой доступности.

EmbeddingDimension, Krull Dimension и Grade

Определение 1. Размерность Крулля \(R\), записываемая как \(\dim{R}\), есть супремум, берущий длину цепочек простых идеалов \[\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p} _1 \subsetneq \dots\subsetneq \mathfrak{p}_d.\]

Это определение было введено для определения размерности аффинных многообразий в глобальном смысле. Локально имеем следующее определение.

Определение 2. Размерность вложения \(R\) есть размерность векторного пространства \[emb.\dim{R} = \dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2).\] Правая стороны является размерность \(k\)-векторного пространства \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\).

Пусть \(R\) — локальное кольцо комплексного многообразия \(X\) в точке \(P\), другими словами, мы пишем \(R=\mathcal{O}_{P,X}\). Тогда \((\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^\ast\) является касательным пространством Зарисского к \(X\) в \(P\), размерность которого равна \(\dim_k(\mathfrak {m}/\mathfrak{m}^2)=emb.\dim{R}\).Размерность вложения \(R\) есть наименьшее целое число \(n\) , такое что некоторая аналитическая окрестность \(P\) в \(X\) вкладывается в \(\mathbb{C}^n\). Если эта размерность равна размерности \(X\) , то \(X\) “гладкая” в \(P\). По этой причине мы определяем регулярное локальное кольцо.

Определение 3. Кольцо \(R\) называется регулярным , если \(\dim{R}=emb.\dim{R}\).

Самый непосредственный интуитивный пример регулярного локального кольца — это кольца вида \[K[[x_1,\dots,x_n]],\], где \(K\) — поле. Кольца такого рода являются регулярными локальными кольцами размерности Крулля \(n\). Как и следовало ожидать, это кольцо содержит гораздо больше информации, чем \(K[x_1,\dots,x_n]\). Степенные ряды в комплексном анализе гораздо мощнее полиномов.

Но, работая над регулярными локальными кольцами, мы не ограничиваемся по существу кольцом степенных рядов над полем. Например, кольцо \(\mathbb{Z}[X]_{(2,X)}\) также является регулярным локальным кольцом, но даже не содержит поля.

Тем не менее, наша первичная модель регулярных локальных колец по-прежнему имеет форму \(A=K[[x_1,\dots,x_n]]\), которая имеет максимальный идеал \(\mathfrak{m}=(x_1,\dots ,x_n)\) . Чтобы изучить локальные кольца в аромате \(A\), мы развиваем аналогию элементов \(\{x_1,\dots,x_n\}\) .

Определение 4. Регулярная последовательность \(R\), также записываемая как \(R\)-последовательность, представляет собой последовательность \([x_1,\dots,x_n]\) элементов из \(\mathfrak{m}\ ) такой, что \(x_1\) не является делителем нуля в \(R\), и такой, что при заданном \(i>1\) каждый \(x_i\) является не делителем нуля в \( R/(x_1,\dots,x_i)\).

Степень \(R\) , \(G(R)\) есть наибольшая длина регулярных последовательностей. Если \(G(R)=\dim{R}\) , то \(R\) называется Коэном-Маколеем .

Вполне интуитивно понятно, что для \(A=K[[x_1,\dots,x_n]]\) самая длинная \(R\)-последовательность должна быть \([x_1,\dots,x_n]\), и, следовательно, \(А\) есть Коэн-Маколеев. Но такой аргумент не приводит нас к столь быстрому заключению. Как бы то ни было, позже мы покажем, что каждое регулярное локальное кольцо является кольцом Коэна-Маколея.

Последовательность, формирующая основу

Среди множества последовательностей нас особенно интересуют последовательности, отображаемые на базис \(k\)-векторного пространства \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\). Позже мы покажем, что эта «правильная» последовательность действительно является правильной последовательностью.

Утверждение 1. Пусть \(x_1,\dots,x_n\) элементы в \(\mathfrak{m} \subset R\), образы которых составляют основу \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\ ), то \(x_1,\dots,x_n\) генерируют максимальный идеал \(\mathfrak{m}\) .

Доказательство. Лемма Накаямы (8). Обратите внимание, что поскольку \(R\) является локальным, радикал Джекобсона равен \(\mathfrak{m}\). Кроме того, мы берем \(I=M=\mathfrak{m}\). \(\площадь\)

Предложение 2. Если \(R\) является регулярным локальным кольцом размерности \(n\) и \(x_1, \dots,x_n \in \mathfrak{m}\) отображается в основу \(\mathfrak{m} /\mathfrak{m}^2\), то \(R/(x_1,\dots,x_i)\) — регулярное локальное кольцо размерности \(ni\) .

Доказательство. По предложению 1 имеем \(\mathfrak{m}=(x_1,\dots,x_i,x_{i+1},\dots,x_n)\).Размерность \(R/(x_1,\dots, x_i)\) определяется цепочкой в ​​\(R\) : \[(x_1,\dots,x_i,x_{i+1}) \subset \dots \subset(x_1,\dots,x_i,x_{i +1},\dots,x_n)\] с длиной \(ni\) . То есть \(\dimR/(x_1,\dots,x_i)=ni\) . С другой стороны, максимальный идеал \(\mathfrak{M}\) в \(R/(x_1,\dots,x_i)\) изоморфен \((x_{i+1},\dots,x_n) \) и \(x_{i+1},\dots,x_n\) отображаются в базис \(\mathfrak{M}/\mathfrak{M}^2\), который, следовательно, имеет размерность \(ni\) . \(\площадь\)

Сейчас выглядит многообещающе, что последовательность базиса может свести все к земле, и мы покажем это в следующем разделе.

Регулярные локальные кольца — домены целостности и Коэн-Маколей

Предложение 3. Если \(R\) регулярно, то \(R\) — область целостности.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по \(\dimR\) . Когда \(\dim{R}=0\) и \(R\) регулярно, \(R\) должно быть полем, следовательно, областью интегралов по определению. Далее мы предполагаем, что \(\dim{R}>0\) и аргумент был доказан для \(\dim{R}-1\) .

Выберите \(x \in \mathfrak{m} \setminus\mathfrak{m}^2\) . Затем этот элемент сопоставляется с ненулевым элементом в \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\) . Существует базис \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\), который содержит \(\overline{x}\) . Поэтому по предложению 2 \(R/(x)\) является регулярным локальным кольцом размерности \(\dim{R}-1\) , которое по условию является областью целостности. Отсюда следует, что \((x)\) простое число.

Мы утверждаем, что существует \(x \in\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\) такой, что \((x)\) имеет высоту \(1\). Если нет, то для всех \(x \in \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\) \((x)\) является минимальным. Отсюда следует, что существует конечное число минимальных простых идеалов \(\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_r\) таких, что \[\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2 \cup \mathfrak{ p}_1 \cup \dots \cup\mathfrak{p}_r\] и, следовательно, \(\mathfrak{m}\subset \mathfrak{p}_j\) для некоторого \(1\le j \le r\) . Отсюда следует, что \(\dim{R}=0\), что противоречит нашему предположению, что \(\dim{R}>0\) . [Примечание: первичное избегание позволяет не более чем двум идеалам быть непростыми. См. стр. 90 коммутативной алгебры Эйзенбуда с точки зрения алгебраической геометрии.]

Таким образом, поскольку наше утверждение верно, мы можем написать \(\mathfrak{p} \subsetneq (x)\) с \(\mathfrak{p}\) простым числом и \(x \in \mathfrak{m} \setminus\ mathfrak{m}^2\). Мы видим \(\mathfrak{p}\in (x^n)\) для всех \(n\) , потому что если \(p=rx^n \in \mathfrak{p}\) , то \(r \in \mathfrak{q} \subset (x)\) и поэтому мы пишем \(r=sx\) или эквивалентно \(p = sx^{n+1} \in(x^{n+1})\) . В этом случае мы имеем \(\mathfrak{p} \subset\bigcap_{n=1}^{\infty}(x^n)=0\). Поэтому \(R/\mathfrak{p}=R/0=R\) является областью целостности.

Теперь мы подошли к заключению этого поста.

Предложение 4. Если \(R\) регулярно и имеет размерность Крулля \(n\), любое отображение \(x_1,\dots,x_n \in \mathfrak{m}\) в базис \(\mathfrak{m} /\mathfrak{m}^2\) порождает регулярную последовательность ( \(R\) -последовательность). Следовательно, \(G(R)=\dim{R}\) и, следовательно, \(R\) является коэновским. Маколей.

Доказательство. Поскольку \(G(R) \le\dim{R}\) , как только мы показали, что \([x_1,\dots,x_n]\) является регулярной последовательностью, мы имеем \(G(R) \ge \dim {Р}\) . Чтобы показать, что это регулярная последовательность, прежде всего заметим, что \(x_1\) не является делителем нуля (поскольку \(R\) является областью целостности). Для любого \(i>1\) мы видим, что \(R/(x_1,\dots,x_i)\) является регулярным локальным кольцом размерности \(di\) , следовательно, снова областью целостности. Поэтому \(x_{i+1},\dots,x_i\) не являются делителями нуля. \(\площадь\)

Справочник/дополнительная литература

  • Чарльз А. Вейбель, Введение в гомологическую алгебру .
  • М. Ф. Атья, И. Г. Макдональд, Введение в коммуникативную алгебру .
  • Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию .
  • Винфред Брунс, Юрген Херцог, Коэн-Маколей Рингс