Пусть $К$ — алгебраически замкнутое поле характеристики $0$ . Вместо того чтобы изучать кольцо многочленов $K[X]$ в целом, мы уделим немного больше внимания каждому многочлену. Разумно было бы подсчитать количество различных нулей. Мы определяем \[n_0(f)=\text{количество различных корней $f$.}\]. Например, если $f(X)=(X-1)^{100}$, мы имеем \ (n_0(f)=1\). Кажется, мы погружаемся в исчисление, но на самом деле алгебры еще много.

Азбука многочленов

Теорема 1 (Мейсон-Стозерс). Пусть $a(X),b(X),c(X) \in K[X]$ — полиномы такие, что $(a,b,c)=1$ и \(a+b=c\ ). Тогда \[\max\{\deg a,\deg b,\deg c\} \le n_0(abc)-1.\]

Как мы увидим позже, это похоже на знаменитую гипотезу $abc$ о натуральных числах, которая до сих пор вызывает споры. Но это полиномиальный пост, и доказательство Мейсона-Стозерса довольно элементарно.

Доказательство. Положив $f=a/c$ и $g=b/c$ , мы имеем \[f+g=1.\] Отсюда следует \[f’+g’=\frac{f’}{ f}f+\frac{g’}{g}g=0 \подразумевает\frac{g}{f}=\frac{b}{a}=-\frac{f’/f}{g’/g} .\]

Мы прерываем доказательство здесь по ряду веских причин. Рациональные функции вида $f’/f$ напоминают нам о цепном правиле, применяемом к $\log{x}$ . В контексте исчисления мы имеем $\left(\log{f(x)} \справа)’=f’/f$. На кольце $K[x]$ мы определяем $D:K[x] \to K[x]$ как формальный производный морфизм. Тогда этот эндоморфизм продолжается до $K(x)$ посредством \[D(f/g)=\frac{gDf-fDg}{g^2}.\] На $K(x)^\ast$ (читай: мультипликативная группа поля рациональных функций $K(x)$), мы определяем производную логарифма \[L(f)=\frac{Df}{f}.\] Отсюда следует, что \[L( fg)=\frac{D(fg)}{fg}=\frac{fDg+gDf}{fg}=L(f)+L(g).\] Также обратите внимание, что, как и в исчислении, если $ f$ — постоянная функция, то $D(f)=0$. Теперь мы пишем \[f(X)=c\prod(X-\alpha_i)^{m_i}.\] Тогда следует, что \[\begin{aligned}f’/f=L(f)&=L( c)+\sum L\left((X-\alpha_i)^{m_i} \right) \\ &= m_i\sum L(X-\alpha_i) \\ &= \sum\frac{m_i}{X- \alpha_i}.\end{aligned}\] Теперь мы можем вернуться к доказательству.

Доказательство (продолжение). Поскольку $K$ алгебраически близок, \[a(X)=c_1\prod(X-\alpha_i)^{m_i}, \quad b(X)=c_2\prod(X-\beta_j)^{n_j },\quad c(X)=c_3\prod(X-\gamma_k)^{r_k}.\] Мы видим, например, \[f(X)=c_1 c_3^{-1}\prod(X-\ alpha_i)^{m_i}\prod(X-\gamma_k)^{-r_k}.\] Поэтому \[f’/f=\sum\frac{m_i}{X-\alpha_i}-\sum\frac{r_k }{X-\gamma_k}.\] Аналогично \[g’/g=\sum\frac{n_j}{X-\beta_j}-\sum\frac{r_k}{X-\gamma_k}.\] Объединение обоих , получаем \[\frac{b}{a}=-\frac{\sum\frac{m_i}{X-\alpha_i}-\sum\frac{r_k}{X-\gamma_k}}{\sum\ frac{n_j}{X-\beta_j}-\sum\frac{r_k}{X-\gamma_k}}.\] Далее, умножая $f’/f$ и $g’/g$ на \ [N_0(X)=\prod(X-\alpha_i)\prod(X-\beta_j)\prod(X-\gamma_k),\] которое имеет степень $n_0(abc)$ (поскольку $(a ,b,c)=1$ эти три многочлена не имеют общих корней). И $N_0f’/f$, и $N_0g’/g$ являются многочленами степеней не выше $n_0(abc)-1$ (это потому, что $\deg h’=\deg h-1\ ) для непостоянных \(h \in K[X]$ , а $f$ и $g$ непостоянны (почему?); полагаем \(\operatorname{char} K=0\ ) по этой причине).

Далее мы наблюдаем степени $a,b$ и $c$. Поскольку $a+b=c$, мы на самом деле имеем $\deg c \le \max\{\deg a,\deg b\}$. Следовательно , $\max\{\deg a,\deg b,\degc\}=\max\{\deg a,\deg b\}$ . Из соотношения \[\frac{b}{a}=-\frac{N_0f’/f}{N_0g’/g},\] и предположения, что $(a,b)=1$, можно найти полином $h \in K[X]$ такой, что \[bh=-N_0f’/f,\quad ah = N_0g’/g.\] Беря степени обеих сторон, мы видим \[\begin{ выровнено}\deg b \le \deg N_0f’/f \le n_0(abc)-1, \\\deg a \le \deg N_0g’/g \le n_0(abc)-1.\end{выровнено}\ ] Это доказывает теорему. $\площадь$

Приложения

Приведем некоторые приложения этой теоремы.

Следствие 1 (теорема Ферма для многочленов). Пусть $a(X),b(X)$ и $c(X)$ — взаимно простые полиномы из $K[X]$ такие, что не все из них постоянны, и такие, что \[a (X)^n+b(X)^n=c(X)^n.\] Тогда $n \le 2$ .

В качестве альтернативы можно рассуждать о кривой $x^n+y^n=1$ на $K(X)$.

Доказательство. Поскольку $a,b$ и $c$ взаимно просты, мы также имеем, что $a^n$ , $b^n$ и $c^n$ взаимно просты. По теореме Мейсона-Стозерса \[\begin{aligned}\deg a^n = n\deg a &\le n_0(a^nb^nc^n)-1 \\ &= n_0(abc)-1 \\ & \le \deg(abc)-1 \\ &= \deg a + \deg b + \deg c – 1.\end{aligned}\] Замена $a$ на $b$ и $c $, мы видим \[\begin{cases}n\deg a \le \deg a + \deg b + \deg c – 1 \\n\deg b \le \deg a + \deg b + \deg c – 1 \\n\deg c \le \deg a + \deg b + \deg c – 1\end{cases}\] Отсюда следует, что \[n(\deg a + \deg b + \deg c) \ le 3(\deg a + \deg b + \deg c) – 1.\] В этом случае $n<3$ . $\площадь$

Следствие 2 (неравенство Давенпорта). Пусть $f,g \in K[X]$ такие многочлены, что $f^3-g^2 \ne 0$ . Тогда \[\deg (f^3-g^2) \ge \frac{1}{2}\deg f + 1.\]

Доказательство. Сначала предположим, что $(f,g)=1$. Полагая $h=f^3-g^2$, мы видим \[n_0(f^3(-g^2)h)=n_0(fgh)\le \deg f+\deg g + \deg h- 1.\] По Мейсону-Стозерсу, \[\begin{cases}3\deg f \le \deg f + \deg g + \deg h – 1, \\2\deg g \le \deg f + \deg g + \deg h – 1.\end{cases}\] Комбинируя эти два неравенства, \[3\deg f + 2\deg g \le 2\deg f + 2 \deg g + 2\deg h – 2. \] Отсюда следует, что \[2\deg h – 2 \ge \deg f \имеет \deg h \ge \frac{1}{2}\deg f + 1.\] В общем случае мы предполагаем, что $( е,ж)=г$. Тогда $f/d$ и $g/d$ — взаимно простые многочлены. Мы видим \[\begin{aligned}\deg(f/d) &= \deg{f} – \deg d \\ &\le2\deg(f^3/d^3-g^2/d^2 ) – 2 \\ &= 2\deg(f^3-dg^2)-6\deg{d} – 2 \\ &\le2\deg(f^3-g^2)-6\deg{d }-2.\end{aligned}\] Поэтому \[\deg{f} \le 2\deg(f^3-g^2)-5\deg{d}-2 \le 2\deg(f^ 3-g^2)-2\] по желанию. $\площадь$

Можно также обобщить случай на $f^mg^n$. Но мы сделали еще несколько важных замечаний. Прежде всего, Мейсон-Стозерс изначально представляет собой обобщение неравенства Дэвенпорта. Лично я не думаю, что кто-либо из смертных сможет найти исходную статью о неравенстве Дэвенпорта, но на [Shioda 04] есть воспроизведенное доказательство с использованием линейной алгебры (лемма 3.1).

Для более геометрической интерпретации может быть интересна [Zannier 95], где также обсуждается теорема существования Римана.

использованная литература

[Ma 84] RC Mason, Диофантовы уравнения над функциональными полями , 1984.
[Shioda 04] Tetsuji Shioda, Теорема abc, Неравенство Давенпорта и эллиптические поверхности , 2004 г. (https://ift.tt/vmtu2jw)
[Zannier 95] Умберто Занньер (Венеция), Об оценке Давенпорта степени $f^3-g^2$ и теореме существования Римана , 1995. (https://ift.tt/Yns1i35)
[Davenport 65] H. Davenport: On $f^3(t)-g^2(t)$ , 1965 г. (может ли кто-нибудь найти цифровую копию этой статьи?)