Неприводимые представления SO(3) и лапласиана

аватар.png

Введение

В нашем предыдущем сообщении об их приводимых представлениях \(SU(2)\) и \(SO(3)\) неприводимые представления \(SU(2)\) были определены явно: \(V_n=\operatorname{Sym }^n\mathbb{C}^2\), а неприводимые представления \(W_n\) из \(SO(3)\) соответствуют \(V_{2n}\).

Результат удовлетворяет для \(SU(2)\), но не для \(SO(3)\). Мы надеемся, что это как-то связано с \(\mathbb{R}^3\) , но \(V_{2n}\) не имеет. В этом посте мы даем очень четкую характеристику \(W_n\).

Этот пост будет относительно легче читать. Помимо базового языка теории представлений (групп Ли), требуется только многомерное исчисление.

Общая стратегия и игровая площадка

Как и в предыдущем посте, сначала определяем хорошую площадку, а потом показываем, что это все, что нам нужно. Детская площадка здесь

\[P_\ell=\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^\ell\mathbb{R}^3.\]

Причина симметричного произведения \(\mathbb{R}^3\) проста: мы будем работать с однородными полиномами. Мы усложнили это пространство, чтобы не беспокоиться о собственных значениях (из \(SO(3)\)). Другими словами, \(P_\ell\) представляет собой комплексное векторное пространство однородных многочленов от трех переменных, рассматриваемых как функции на \(\mathbb{R}^3\).

Напомним, что

\[\ тусклый \operatorname {Sym} ^ \ ell \ mathbb {R} ^ 3 = {\ ell + 3-1 \ выбрать \ ell} = {\ ell + 2 \ выбрать \ ell} = {\ ell + 2 \ Choose2}=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}.\]

Поэтому \(\dimP_\ell=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}\) , как \(\mathbb{C}\)-векторное пространство.

Мы будем извлекать то, что хотим, из пространств этой формы.

Представление SO(3) и лапласиана

Аналогично определяется действие \(SO(3)\) или \(GL(3,\mathbb{R})\) вообще на \(P_\ell\). Для любых \(A \in GL(3,\mathbb{R})\) и \(f \in P_\ell\) мы определяем

\[(Af)(x)=f(xA).\]

Здесь \(x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) и \(xA\) является произведением \(x \) и \(A\) в смысле умножения матриц. Легко проверить, что это действительно порождает групповое представление.

Чтобы изучить это представление, нам нужно найти некоторые морфизмы \(P_\ell \to P_\ell\). Наиболее очевидным выбором является лапласиан, который дается выражением

\[\Delta:f \mapsto \left(\frac{\partial^2}{\partialx_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2} {\ partialx_3 ^ 2} \ справа) е. \]

Другими словами, \(\Delta\) является следом матрицы Гессе для \(f\) . Трассировка используется в теории представлений для определения характера, так что есть шанс найти его хорошую связь с представлением \(SO(3 )\).

Мы также не забудем ядро ​​лапласиана, которое в этом контексте называется гармоническим многочленом степени \(\ell\) :

\[\mathfrak{H}_\ell = \{f \in P_\ell:\Delta{f}=0\}.\]

Поскольку функции в \(P_\ell\) однородны, значение \(f\) в точке \(x\) определяется значением в \(\frac{x}{\|x\|} \in S^ 2\) , единичная сфера. Поэтому мы также называем \(\mathfrak{H}_\ell\) сферическими гармониками степени \(\ell\) . И нам, конечно, нужно знать нулевое значение \(\Delta\).

Лемма 1. Размерность \(\mathfrak{H}_\ell\) равна \(2\ell+1\).

Доказательство. Прежде всего, мы выполняем разложение Тейлора \(f \in P_\ell\) по отношению к первой переменной \(x_1\) :

\[f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{k=0}^{\ell}\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k.\]

Здесь \(f_k(x_2,x_3)\) неоднороден степени \(\ell-k\) в \(x_2,x_3\) . Поэтому нам нужно изучить только один член правой части.

\[\begin{align}\Delta \frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k &=\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}k(k-1)x_1^ {k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^ 2}\right) \\&=\frac{f_k(x_2,x_3)}{(k-2)!}x_1^{k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\ frac{\ partial ^ 2f_k} {\ partial x_2 ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 f_k} {\ partial x_3 ^ 2} \ right) \ end {align} \]

Теперь мы можем соединить их естественным образом:

\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{f_{k+2}}{k!}x_1^{k}+\sum_{k=0}^{\ ell}\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right )\]

Давайте попробуем изучить последний термин немного больше. Если \(k=\ell-1\) или \(\ell\), то \(f_k\) имеет порядок \(0\) и \(1\), и, следовательно, производная второго порядка равна \(0\) . Поэтому мы пишем

\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{x_1^k}{k!}\left[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^ 2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right)\right]\]

Поэтому \(\Delta{f}=0\) тогда и только тогда, когда

\[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2f_k}{\partial x_3^2}\right)=0. \]

Следовательно, как только \(f_0\) и \(f_1\) определены, все \(f_k\) определены, как и сам \(f\). Следовательно

\[\ тусклый \ mathfrak {H} _ \ ell = \ тусклый P_ \ ell ^ 2+ \ тусклый P _ {\ ell-2} ^ 2 \]

где \(P_k^2\) — пространство однородных многочленов с двумя переменными, следовательно, изоморфно \(\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^k\mathbb{R}^2\ ), и поэтому имеем

\[\dim P_\ell^2 = {\ell+2-1 \выберите \ell}=\ell+1, \quad \dim P_{\ell-1}^2= \ell.\]

Следовательно

\[\dim \mathfrak{H}_\ell=2\ell+1.\]

\(\площадь\)

Напомним, что \(\dim W_n=2n+1\) . Это не должно быть совпадением, и мы углубимся в это прямо сейчас. Для этого сразу устанавливаем связь между \(\Delta\) и \(SO(3)\).

Лемма 2. Действие лапласиана на \(C^\infty(\mathbb{R}^3;\mathbb{C})\) (которое содержит \(P_\ell\) для всех \(\ell \ge 0 \)) коммутирует с действием \(SO(3)\) , т. е. \(\Delta\) является \(SO(3)\)-эквивариантным.

Доказательство. Действительно рутинная проверка. \(\площадь\)

В итоге имеем очень важный результат:

Теорема 1. Пространство \(\mathfrak{H}_\ell\) является \(SO(3)\)-инвариантным подпространством в \(P_\ell\).

Персонажи SO(3)

Мы начнем с прямого наблюдения за матрицами в \(SO(3)\), что «понижает» вращение до плоскости:

Лемма 2. Каждый элемент из \(SO(3)\) сопряжен с \(R(t)\), где

\[R(t)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0&\cos{t}&-\sin{t} \\0&\sin{t}&\cos{t} \end{pmatrix }.\]

Доказательство. Выберите любой \(A \inSO(3)\) . Прежде всего покажем, что \(A\) имеет собственное значение \(1\). Примечание

\[\begin{align}\det (IA)&=\det(AA^TA) \\ &=\det(A(A^TI)) \\ &=\det(A)\det(A^TI) ) \\ &=\det(AI) \\ &=-\det(IA)\end{выровнено}\]

поэтому мы имеем \(\det(IA)=0\) . Следовательно, мы можем выбрать \(v_1 \in \ker(IA)\) с нормой \(1\) . Выберите \(v_2 \in \mathbb{R}^3\) pedicular к \(v_1\) с нормой \(1\) и \(v_3=v_1\times v_2\) . Тогда \(\{v_1,v_2,v_3\}\) является ортонормированным базисом и \(V=(v_1,v_2,v_3)\) находится в \(SO(3)\). \(A\), следовательно, сопряжено с

\[V^{-1}AV=R=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0&a&b \\ 0&c&d \end{pmatrix} \in SO(3).\]

В частности, \(R \in SO(3)\) также подразумевает

\[\begin{case}a^2+b^2=1 \\b^2+d^2=1 \\a^2+c^2=1 \\b^2+d^2=1 \ \ad-bc=1\end{случаи}\]

Решая эту систему уравнений, мы должны иметь \(a=d\), \(b=-c\), чтобы мы могли присвоить \(a=\cos{t}\) и \(c=\sin{t}\ ), и результат следует. \(\площадь\)

Поскольку характеры инвариантны относительно сопряжения, изучение характера группы \(SO(3)\) сводится к подгруппе \(T\) , порожденной матрицами вида \(R(t)\) . Но прямое вычисление — это кошмар, поэтому мы изо всех сил стараемся делать это элегантно. Для этого мы возвращаемся к неприводимым представлениям \(SU(2)\) (во всяком случае, есть только две переменные). Каноническое отображение \(SU(2)\toSO(3)\) имеет определенное значение:

\[e(t)=\begin{pmatrix}\exp(it) & 0 \\0 & \exp(-it)\end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos{2t} & -\sin{2t} \\0 & \sin{2t} & \cos{2t}\end{pmatrix}=R(2t).\]

Можно обратиться к этому документу для карты выше. Наше изучение характеров теперь сводится к \(SU(2)\), потому что \(\chi_{W_n}(R(t))=\chi_{V_{2n}}(e(t/2))\) , используя тот факт, что характер инвариантен относительно изоморфизма и что \(V_{2n} \cong W_n\) . Мы можем вычислить, что

\[\chi_{V_{2n}}(e(t/2))=\sum_{k=0}^{2n}\exp\left(i(2n-2k)\frac{t}{2}\ справа)=\sum_{k=0}^{2n}\exp(i(nk)t).\]

Теперь мы готовы к неприводимым представлениям \(SO(3)\).

Определение всех неприводимых SO(3)-модулей

Поскольку мы в основном имеем \(\dim\mathfrak{H}_\ell=\dim W_\ell\) , естественно полагать, что \(\mathfrak{H}_\ell \cong W_\ell\) , в смысле \(SO(3)\) -модулей, и следующая теорема дает положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 2. Пространство \(\mathfrak{H}_\ell\) изоморфно \(W_\ell\). Другими словами, неприводимые \(SO(3)\)-модули определяются сферическими гармониками.

Доказательство. Мы будем использовать тот факт, что всякая компактная группа Ли вполне приводима. (Во-первых, \(SO(3)\) компактна, так как является замкнутой подгруппой этого документа. С другой стороны, тот факт, что всякая компактная группа Ли вполне приводима, можно найти в разделе 3 этого документа).

Поэтому у нас есть

\[\mathfrak{H}_\ell= \bigoplus_{\nu}W_{n_\nu}\]

где каждый \(W_{n_\nu}\) является неприводимым представлением \(SO(3)\). Применение размера на обеих сторонах

\[2\ell+1 = \sum_{\nu}(2n_\nu+1).\]

Чтобы доказать, что \(\mathfrak{H}_\ell=W_{\ell}\), достаточно показать, что \(n_\nu \ge \ell\) для некоторого \(n_\nu\) . С другой стороны, применяя символы с обеих сторон, мы видим

\[\chi_{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))=\sum_{k}\exp(ikt) \quad |k| \le \maxn_\nu.\]

Мы не знаем комбинацию \(k\), но наша работа выполнена, если мы сможем показать, что \(R(t)\) имеет собственное значение \(e^{-i\ell t}\).

Для этого мы можем рассмотреть вектор \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+ix_3)^\ell \in\mathfrak{H}_\ell\). Это потому, что для этого вектора мы имеем

\[\begin{align}(R(t)f_\ell)(t)&=\left(x_2\cos{t}+x_3\sin{t}+i(-x_2\sin{t}+x_3\ cos{t})\right)^\ell\\ &=(e^{-it}x_2+ie^{-it}x_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}(x_2 +ix_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}f_\ell(t).\end{выровнено}\]

\(\площадь\)

Заключительные замечания

  • Мы находим собственное значение, потому что оно показывает, что \(\exp(-i\ell t)\) появляется в слагаемом \(\chi _{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))\) , следовательно \(|-\ell|=\ell \le \max n_\nu\) . Поскольку \(\{n_\nu\}\) конечно, максимум может быть достигнут, и, следовательно, наши рассуждения о размерности закончены.

  • Представление \(U(2)\) можно вывести алгебраически, нужно только заметить, что \(U(2) = (S^1 \times SU(2))/H\), где \(H =\{(1,I),(-1,-I)\}\). Также потребуется аргумент чет-нечет, как мы делали с \(SO(3)\).

  • Точно так же, поскольку \(O(3)=SO(3) \times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) , мы можем вывести неприводимые представления \(O(3)\) таким же образом.

Leave a Comment

Ваш адрес email не будет опубликован.