Desvl

Свойства циклотомических полиномов

Предыстория базовой теории поля Пусть \(K\) — поле (в этом посте мы в основном предполагаем, что \(K \supset\mathbb{Q}\) ) и \(n\) целое число \(>1\) , которое не делится на характеристику \ (К\). Тогда многочлен \[Х^n-1\] отделимо, потому что его производная равна \(nX^{n-1} \ne 0\). Следовательно, в алгебраическом замыкании \(\overline{K}\) многочлен имеет \(n\) различных корней, образующих …

Свойства циклотомических полиномов Read More »

Исчисление полей — высоты многочленов, мера Малера и теорема Норткотта

Высоты Определение. Для многочлена с коэффициентами в числовом поле \(K\) \[f(t_1,\dots,t_n)=\sum_{j_1,\dots,j_n}a_{j_1\dots j_n}t_1^{j_1}\dotst_n^{j_n}=\sum_{\mathbf{j}} а _ {\ mathbf {j}} \ mathbf {t} ^ {\ mathbf {j}}, \] высота \(f\) определяется как \[h(f)=\sum_{v \in M_K}\log|f|_v\] куда \[|f|_v=\max_{\mathbf{j}}|a_{\mathbf{j}}|_v\] есть норма Гаусса для любого места \(v\). Как и следовало ожидать, это может сказать нам о некоторой сложности многочлена, точно так …

Исчисление полей — высоты многочленов, мера Малера и теорема Норткотта Read More »

Лемма Гензеля — справедливое применение метода Ньютона и «двойной индукции»

Введение Пусть \(F\) — неархимедово локальное поле, означающее, что \(F\) полно относительно метрики, индуцированной неархимедовым абсолютным значением \(|\cdot|\) . Рассмотрим кольцо целых чисел \[\mathfrak{o}_F=\{\alpha \in F:|\alpha| \le 1\}\] и его единственный простой (следовательно, максимальный) идеал \[\mathfrak{p}=\{\alpha \in F:|\alpha| <1\}.\] Поле вычетов \(k=\mathfrak{o}_F/\mathfrak{p}\) конечно, потому что оно компактно и дискретно. Для компактности заметим, что \(\mathfrak{o}_F\) компактен, …

Лемма Гензеля — справедливое применение метода Ньютона и «двойной индукции» Read More »

Неприводимые представления GL_2(F_q)

Введение Группа \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) состоит из обратимых \(2 \times 2\) матриц с элементами в конечном поле \(\mathbb{F}_q\), где \(q=p ^n\) для некоторого простого числа \(p\) (всегда мы исключаем случай, когда \(p=2\) , поскольку он может оказаться весьма трудным). Как \(\mathbb{F}_p\)-векторное пространство, \(\mathbb{F}_q\) имеет размерность \(n\). Группа Галуа \(G(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)\) является циклической и порождается отображением Фробениуса. Само поле …

Неприводимые представления GL_2(F_q) Read More »

Неприводимые представления SO(3) и лапласиана

Введение В нашем предыдущем сообщении об их приводимых представлениях \(SU(2)\) и \(SO(3)\) неприводимые представления \(SU(2)\) были определены явно: \(V_n=\operatorname{Sym }^n\mathbb{C}^2\), а неприводимые представления \(W_n\) из \(SO(3)\) соответствуют \(V_{2n}\). Результат удовлетворяет для \(SU(2)\), но не для \(SO(3)\). Мы надеемся, что это как-то связано с \(\mathbb{R}^3\) , но \(V_{2n}\) не имеет. В этом посте мы даем очень …

Неприводимые представления SO(3) и лапласиана Read More »