Число 1 может быть записано как сумма отдельных дробей , например 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36 . Математик доказал, что, пока набор целых чисел содержит достаточно большой участок числовой прямой, он должен включать некоторое подмножество чисел, обратные числа которых в сумме дают 1.
Елена Шмахало для журнала Quanta.
Теоретики чисел всегда ищут скрытую структуру. А столкнувшись с числовым паттерном, который кажется неизбежным, они проверяют его характер, изо всех сил пытаясь — и часто безуспешно — придумывать ситуации, в которых данный паттерн не может проявиться.
Один из последних результатов Томаса Блума из Оксфордского университета, демонстрирующий устойчивость таких паттернов, отвечает на вопрос, корни которого уходят корнями в Древний Египет.
«Возможно, это самая старая проблема», — сказал Карл Померанс из Дартмутского колледжа.
Вопрос касается дробей, в числителе которых стоит 1, например ,
или
. Эти «дробные единицы» были особенно важны для древних египтян, потому что они были единственными типами дробей, которые содержались в их системе счисления.
, они могли выражать только более сложные дроби (например,
) как суммы единичных дробей (
+
).
Современный интерес к таким суммам усилился в 1970-х годах, когда Пол Эрдёш и Рональд Грэм спросили, насколько сложно сконструировать наборы целых чисел, не содержащие подмножества, обратные величины которых складываются в 1. Например, набор {2, 3, 6, 9, 13} не проходит этот тест: он содержит подмножество {2, 3, 6}, обратные величины которого являются единичными дробями ,
а также
– что в сумме равно 1.
Математический свиток, известный как Папирус Райнда, датируемый примерно 1650 годом до нашей эры, показывает, как древние египтяне представляли рациональные числа в виде суммы единичных дробей.
При сортировке чисел по корзинам Крут хотел избегать составных чисел с большими простыми множителями. Обратные числа этих чисел складываются в дроби с большим знаменателем, а не в более простые дроби, которые легче объединить в 1. Таким образом, Крут доказал, что если в наборе достаточно много чисел с большим количеством относительно небольших простых множителей, он всегда должен содержат подмножество, обратные величины которого в сумме дают 1.
Крут показал, что хотя бы одно ведро всегда удовлетворяет этому свойству, чего было достаточно, чтобы доказать результат раскраски. Но в более общей версии плотности математики не могут просто выбрать наиболее удобное ведро. Возможно, им придется искать решение в ведре, не содержащем чисел с малыми простыми множителями — в этом случае метод Крута не работает.
«Это было то, чего я никак не мог обойти, — сказал Крут.
Но два десятилетия спустя, когда Блум готовился представить статью Крута своей группе читателей, он понял, что может получить еще больше от методов, которые представил Крут.
«Я подумал, подождите, метод Крута на самом деле сильнее, чем казалось на первый взгляд», — сказал Блум. «Поэтому я играл несколько недель, и в результате получился более сильный результат».
Доказательство Крута опиралось на тип интеграла, называемый экспоненциальной суммой. Это выражение может определить, сколько целочисленных решений задачи — в данном случае, сколько подмножеств содержит сумму единичных дробей, равную 1. Но есть одна загвоздка: почти всегда невозможно точно решить эти экспоненциальные суммы. Даже их оценка может стать чрезмерно сложной.
Оценка Крута позволила ему доказать, что интеграл, с которым он работал, был положительным, а это свойство означало, что в его начальном наборе существовало по крайней мере одно решение.
«Он решает ее приближенным способом, что достаточно хорошо», — сказал Кристиан Эльшольц из Технологического университета Граца в Австрии.
Блум адаптировал стратегию Крута, чтобы она работала для чисел с большими простыми множителями. Но для этого нужно было преодолеть ряд препятствий, из-за которых было труднее доказать, что экспоненциальная сумма больше нуля (и, следовательно, что гипотеза Эрдёша-Грэма верна).
И Крут, и Блум разбили интеграл на части и доказали, что один главный член был большим и положительным, а все остальные члены (которые иногда могли быть отрицательными) слишком малы, чтобы иметь значимое значение.
Томас Блум из Оксфордского университета изучает проблемы арифметической комбинаторики, в том числе вопросы о том, насколько распространенными могут быть определенные числовые закономерности.
Но в то время как Крут игнорировал целые числа с большими простыми множителями, чтобы доказать, что эти члены достаточно малы, метод Блума дал ему лучший контроль над этими частями экспоненциальной суммы — и, как следствие, больше пространства для маневра при работе с числами, которые в противном случае могли бы вызвать проблемы. . Такие возмутители спокойствия все еще могли помешать показать, что данный термин был мал, но Блум доказал, что таких мест было относительно немного.
«Мы всегда оцениваем экспоненциальные суммы, — сказал Грег Мартин из Университета Британской Колумбии. «Но когда сама экспонента имеет так много членов, требуется много оптимизма, чтобы верить, что вы найдете способ оценить [ее] и показать, что [она] большая и положительная».
Вместо того, чтобы использовать этот метод для поиска наборов чисел, обратные суммы которых равны 1, Блум применил его для поиска наборов с обратными числами, сумма которых составляет меньшие составляющие дроби. Затем он использовал их в качестве строительных блоков, чтобы получить желаемый результат.
«Честно говоря, вы не нашли 1», — сказал Блум. «Вы находите, может быть, , но если вы сделаете это три раза тремя разными способами, то просто сложите их друг с другом, и вы получите 1».
Это оставило его с гораздо более сильным заявлением о том, насколько надежным является этот числовой образец: пока множество содержит какой-то крошечный, но достаточно большой отрезок числовой прямой — независимо от того, как этот отрезок выглядит — невозможно избежать нахождения этих аккуратных сумм. единичных дробей.
«Это выдающийся результат, — сказала Изабелла Лаба из Университета Британской Колумбии. «Комбинаторная и аналитическая теория чисел сильно развилась за последние 20 лет. Это позволило вернуться к старой проблеме с новой точки зрения и с более эффективными способами решения задач».
В то же время это также ставит перед математиками новый вопрос, на этот раз о множествах, в которых невозможно найти сумму единичных дробей, равную 1. Простые числа являются одним из примеров — нет подмножества простых чисел, обратная сумма которых равной 1, но это свойство может также сохраняться и для других бесконечных множеств, которые «больше», в том смысле, что сумма их обратных чисел стремится к бесконечности даже быстрее, чем обратные числа простых чисел. Насколько быстро могут вырасти эти суммы, прежде чем снова появится скрытая структура, и некоторые из их обратных величин неизбежно прибавятся к 1?
«Гипотеза Эрдеша-Грэма была очень естественным вопросом, но это не полный ответ», — сказал Петридис.